GELECEĞİN FİZİĞİ - Prof. Dr. Michio KAKU

Prof. Dr. Michio KAKU tarafından yazılan Geleceğin Fiziği adlı kitabın geniş bir özetine aşağıdaki linkten ulaşabilirsiniz. Linkteki bu belgede, derlemenin Halit Yıldırım tarafından yapıldığı belirtilmektedir.

https://www.dropbox.com/s/kz8wcu6536whsv6/GELECE%C4%9E%C4%B0N%20F%C4%B0Z%C4%B0%C4%9E%C4%B0-%20Prof.%20Dr.%20Michio%20KAKU%20copy.docx

Sn. Atilla Dindiren'in bu paylaşımı için teşekkür ederiz.

Matematik Felsefesi (Stephen F. Barker) - Tarık Akın (8 Temmuz 2014)

Matematik Felsefesi (Stephen F. Barker)

İmge Kitapevi

  

Kitabın giriş bölümünde matematiğe ilişkin felsefi problemler ve bu problemlerin analizinde sıkça kullanılan kavramlar ele alınmış olup diğer bölümlerde ise, geometri ve sayılar felsefi açıdan, konular üzerine geliştirilen düşüncelerin tarihsel gelişimi de dikkate alınarak incelenmiştir.

Matematiğe ilişkin felsefi problemler ve kavramlar

Matematikteki yeni ve esaslı teknik sonuçlar eski önyargıları yıkmış olmakla birlikte matematik ve matematiksel mantıktaki sonuçlara ilişkin felsefi tartışmalar devam etmektedir.

Matematik felsefecileri daima geometriyle bağlantılı problemleri ve sayı ile bağlantılı problemleri ayrı ayrı düşünmüşlerdir.

Geometride felsefi sorunlar Öklid’in nokta tanımından itibaren başlar. ”Parçaları olmayan herhangi bir şeyin olması mümkün müdür?” sorusuyla başlayan tartışma, bugün meşru kabul edilen ve mimarlık-mühendislik çalışmalarında kullanılan öklidci geometrinin, öklidci olmayan mantıksal uyuşmazlığı nedeniyle “matematiksel doğruluk” kavramının irdelenmesine kadar uzanır.

Sayı matematiğinde ise matematiksel varoluş sorunu ortaya çıkar. Geometride varsayımsal ilkeler dolayısıyla, bir yasa içeriyor şeklinde düşünmemiz gerekmezken, sayı matematiğinde şeylerin var oluşunu ileri sürüyor gözüken birçok yasa vardır. Bu yasaların ileri sürdüğü varoluş biçimi gerçek anlamda mıdır yoksa şekilsel midir?

Matematik felsefesinin özel problemlerini tartışmadan önce, var olan bilginin niteliğinin belirlenmesi gerekir. Empirik bilgi deneyle temellendirilmesi gereken bilgidir. A priori bilgi ise deneyle temellendirilmesine gerek olmayan bilgidir. Tanımlardan da anlaşılacağı üzere empirik bilgi fizik, biyoloji ve tarih gibi gözlemlere dayanan; a priori bilgi ise mantık gibi gözlemlere ihtiyaç duymayan bilim dallarının temellerini oluştururlar.” Matematiğe ilişkin bilgiyi, fizik gibi empirik mi yoksa mantık gibi a priori olarak kazandığımız” sorusu yine matematik felsefesi sorunudur.

A priori ve empirik bilgi arasındaki ayırımın başka bir unsuru da, kullanılan uslamlama türüdür. Tümdengelim, öncüler doğruysa sonucunda doğru olmasını a priori olarak bilebileceğimiz uslamlamadır. Tümevarım ise verinin ne söylediğinden bağımsız bir empirik anlam ifade eden uslamlama türüdür.

Kant yargı kavramını irdeleyerek bir şeyi bilmenin veye bu konuda bir inanca sahip olmanın, temelde “yargıda bulunmak” olduğunun farkına vararak; kullanılan yargının türüne göre, ya bilgiler birleştirilerek (sentezleyerek) ya da bilgileri ayrıştırarak (analiz ederek) analitik yargıya ve dolayısıyla bilgiye ulaşılacağını ileri sürdü.

Öklidci Geometri

M.Ö. 300’de Öklid, kendinden önceki alan ölçümlerinde kullanılan ve çoğu empirik olarak mısırlılar tarafından elde edilmiş geometrik keşifleri, sistematik bir şekilde bir araya getirerek, klasik kitabı Öğeler’i  (Elements) yazdı. Bu kitap ders kitaplığının yanı sıra “bilimsel düşüncenin ne olması gerektiği” konusunda da kendisinden sonrası için model oldu.

Öklid’in sisteminde, doğru olduğu zaten bilinen (ya da kabul edilen) öncül yasalar olan postulatlar vasıtasıyla, geometrinin diğer yasaları ispatlanmaya çalışılır. İspatlanacak bu yasalar teoremlerdir. Burada postulatların ispat gerektirmediğini düşündüğümüz de , bunlardan türetilmiş teoremlerin aslında mantıksal bir uslamlama olduğunu görürüz.

Postulatlar gibi ispata gerek duyulmayan ve doğruluğu açık olarak görülen geometrik ilkele vardır ve bunlar aksiyom olarak adlandırılırlar.

Bugün ki modern bakış açısıyla aksiyomların ve postulatların ispatlanmamış olması nedeniyle , öklidci geometrik bilginin empirik olmayan a priori bilgi olduğunu görürüz. Platon ve daha sonra Kant , geometrik bilginin duyusal gözlemlerden kaynaklanan delillere dayandırılamayacağını, dolayısıyla a priori bilgi olduğunu ileri sürdüler. Sokrates de, bu a priori bilginin, kendi yaratılış inancına uygun olarak “insan ruhunun bedene girmeden önce özgür halindeyken, zaten bu bilgilere sahip olduğunu, bedene girince unuttuğunu ve bilgiyle karşılaştığında tekrar hatırladığını” iddia etti.

Öklidci Olmayan Geometri

Öklidci geometrinin takipçileri, postulatlara dayanan teoremlerin ispatlarında, bazı postulatların sorunlu olduğunu ve bunların yerini tutabilecek başka postulatlar olabileceğini keşfettiler. Özellikle beşinci postulat yerine başka postulat koyma çalışmaları, öklidci olmayan geometrinin ortaya çıkmasına neden oldu. Üstelik bu geometri işliyordu.

Önceki filozoflar ve özellikle Kant, yasaları değişmez ve zorunluklu öklidci yanlızca tek bir geometrinin varlığına inanmışlardı. Fakat matematikçiler, yasaları öklidci geometrinin yasaları ile çelişen alternatif geometriler geliştirilebiliyorsa, matematikte ki “doğruluk kavramı” tekrar gözden geçirilmeli diye düşünmeye başladılar.

Daha sonra da, Öklid’in Öğeler eserinde bazı mantıksal boşlukların var olduğunun anlaşılması ve bunların düzeltilmesi çalışmaları, geometri için daha sıkı bir sistematik sunum stili geliştirme ihtiyacı doğurdu. Sistem öyle kurulmalıydı ki “ her teorem postulatlardan sıkı tümdengelimsel bir mantıkla, yani sadece mantıkla” çıksın. Bu amaçla öklidci geometrinin tutarlılığını sağlamak üzere, “onun bir modelini sayı teorisi içinde kurup, tutarlılığını sadece temsil eden reel sayıların tutarlılığına bağlamak” bir çözüm olarak görülmeye başlandı.

Sayılar

Geometrinin aksiyomatik formda olmasına karşın, sayı matematiği “hesaplama kuralları toplamı” olarak gelişmiştir. Yirminci yüzyıl matematiğinde artık aksiyomatik yaklaşımlar büyük oranda artmıştır. Tam sayılar ile yapılan matematik çok açık olmasına rağmen; kesirli sayılar, negatif sayılar gibi yüksek sayı türlerine gidişte bir felsefi şaşkınlık doğmakta olup, tüm sayıları tek bir aileye mensupmuş gibi görmemizi sağlayan “birleşik sayılar kuramı” ihtiyacı doğmaktadır.

Birleşik sayılar kuramı ile doğal sayılar temel sayı türü olarak kabul edilip, bu ebeveyn sayı türünü yöneten ve tümdengelimsel sonuçlar olan yasalar ile diğer sayı türleri de yönetilebilecektir.

Doğal sayılar sıfır da dahil olmak üzere bizim temel sayı türümüz olarak hizmet eder. Matematikçi Peano doğal sayıları aksiyomatik olarak tümevarımsal varsayımla ifade etmiştir.

Peano aksiyomları doğal sayılar hakkında temel ilkeleri çok açık bir biçimde ifade etmesine rağmen, diğer yüksek sayı türlerinin “indirgenmesine” yeterli temeli oluşturamazlar. Birleşik sayılar kuramının amacı, kümeler ve sıralı çiftler gibi yüksek sayıların türlerinin de indirgenmesi ve doğal sayılara uygulanan hesaplama kurallarının bu yüksek sayı türlerine de uygulanabilmesidir.

Matematikçi Cantor sayıların daha yüksek türlerinin tanımlanmasında “küme teorisi” ile büyük katkı sağlamıştır.

Sayıların cisimsiz, maddi olmayan nesneler olmasından doğan ve felsefecileri meşgul eden “sayı var mıdır?”  sorusuna cevap olmak üzere üç başlık altında görüşler ortaya çıkmıştır;

Gerçekçiler sayıların en az somut nesneler kadar kadar gerçek soyut nesneler olduğunu ve insan zihninin onları ussal olarak keşfetme  ve kavrama gücüne sahip olduğunu savundular.

Kavramcılar sayıların gerçek soyut nesneler olmasına rağmen zihnimizde yaratıldığını savundular. Nominalistler ise sayıların somut nesneler olmadıklarını ileri sürdüler.

Bugün ki bakış açısıyla ağırlık kazanan görüş ise; soyut nesnelerin kendilerinde ve kendilerinden ötürü var olduğunu, yoksa zihin tarafından oluşturulmadığıdır. Buna göre matematikçinin görevi nesneleri yaratmak değil keşfetmektir. Yani matematiğe dair bilgimiz mantığa dair bilgimizden daha gizemli değildir.

Küme teorisinde paradoksların keşfi ve bunların bertaraf edilme çalışmaları “biçimselleştirilmiş tümdengelimsel sistemlerin” ortaya çıkmasını sağladı. Buna göre sistemi oluşturan herhangi bir sembolün içeriğine değil, sistem içerisinde ifade ettiği işarete bakılır. Böyle biçimselleştirilmiş sistem işaretlerle oynanan oyun gibidir ve bize “ tutarlılık” gibi onun mantıksal özelliklerini araştırma imkanı verir.

Sonuç olarak, “ matematik evinin birçok dairesi vardır ve onun içinde birçok oyun oynanır” deyişine uygun bir şekilde; matematiğin felsefi tartışmasında, modern gelişmeler göz ardı edilmeden uslamlamalara devam edilmelidir.

Tarık Akın (8 Temmuz 2014)